Conversión al espacio de estados
La conversión entre las dos formas de representación de un sistema se puede hacer de manera metódica. Aquí explicaremos como pasar de la función de transferencia al espacio de estados.
Consideremos de manera abstracta la siguiente ecuación diferencial:
\[\frac{d^n y}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{d y}{dt}+a_0 = b_0 \, u\label{diferencial}\]Una forma conveniente de representar esta ecuación en el espacio de estados es a través de las variables de fase:
\[\array{ x_1 &=& y \\ x_2 &=& \frac{d y}{dt} \\ x_3 &=& \frac{d^{2} y}{dt^{2}} \\ &\vdots&\\ x_n &=& \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} }\]si derivamos a ambos lados de las ecuaciones tendremos:
\[\array{ \dot{x}_1 &=& \frac{d y}{dt} \\ \dot{x}_2 &=& \frac{d^{2} y}{dt^{2}} \\ \dot{x}_3 &=& \frac{d^{3} y}{dt^{3}} \\ &\vdots&\\ \dot{x}_n &=& \frac{d^{n} y}{dt^{n}} }\]usando la ecuación \eqref{diferencial}, tendremos:
\[\array{ \dot{x}_1 &=& x_2 \\ \dot{x}_2 &=& x_3 \\ &\vdots&\\ \dot{x}_{n-1} &=& x_n \\ \dot{x}_n &=& -a_0\,x_1-a_1\,x_2-\cdots-a_{n-1}\,x_x + b_0 \, u }\]la representación en espacio de estados será la siguiente la cual se presenta con el patrón de $1$ y $0$, característico de las variables de fase.
\[\left[\array{\dot{x}_1\\\dot{x}_2\\\dot{x}_3\\\vdots\\\dot{x}_{n-1}\\\dot{x}_n}\right]= \left[\array{ 0&1&0&0&0&0&\cdots&0\\ 0&0&1&0&0&0&\cdots&0\\ 0&0&0&1&0&0&\cdots&0\\ \vdots\\ 0&0&0&0&0&0&\cdots&1\\ -a_0&-a_1&-a_2&-a_3&-a_4&-a_5&\cdots&-a_{n-1}\\ }\right] \left[\array{x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n}\right]+ \left[\array{0\\0\\0\\\vdots\\0\\b_0}\right]u\]Se completa la representación con la ecuación de salida:
\[y=\left[\array{1&0&0&\cdots&0}\right]\left[\array{x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n}\right]\]Ejemplo con numerador constante
Dada la siguiente función de transferencia encontrar la representación en espacio de estados:
\[\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{24}{s^3+9\,s^2+26\,s+24}\]realizando una multiplicación cruzada tendremos:
\[\left(s^3+9\,s^2+26\,s+24\right)C(s) = 24\, R(s)\]esta ecuación puede ser reescrita como:
\[\dddot{c}+9\,\ddot{c}+26\,\dot{c}+24\,c = 24\,r \label{ejemplo1ed}\]definiendo las variables de fase como:
\[\array{ x_1 &=& c\\ x_2 &=& \dot{c}\\ x_3 &=& \ddot{c} }\]podremos reescribir la ecuación \eqref{ejemplo1ed} como:
\[\array{ \dot{x}_1 &=& x_2\\ \dot{x}_2 &=& x_3\\ \dot{x}_3 &=& -24\,x_1-26\,x_2-9\,x_3+24\,r\\ y &=& c = x_1 }\]de aquí la representación en espacio de estados será:
\[\array{\left[\array{\dot{x}_1\\\dot{x}_2\\\dot{x}_3\\}\right] &=& \left[\array{0&1&0\\0&0&1\\-24&-26&-9}\right]\left[\array{x_1\\x_2\\x_3\\}\right]+ \left[\array{0\\0\\24\\}\right]r \\ y &=& \left[\array{1&0&0}\right]\left[\array{x_1\\x_2\\x_3\\}\right]}\]Ejemplo con numerador polinomial
En el caso de tener un numerador polinomial, se separa la función de transferencia en denominador y luego numerador. El denominador sigue aparece en la ecuación dinámica $A$ del sistema y el numerador se convierte en la ecuación de salida $C$ del sistema en espacio de estados.
\[\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{s^2+7\,s+2}{s^3+9\,s^2+26\,s+24}= \frac{1}{s^3+9\,s^2+26\,s+24}\cdot\left(s^2+7\,s+2\right)\]la ecuación con denominador es igual al ejemplo anterior luego la ecuación de estados es:
\[\left[\array{\dot{x}_1\\\dot{x}_2\\\dot{x}_3\\}\right] = \left[\array{0&1&0\\0&0&1\\-24&-26&-9}\right]\left[\array{x_1\\x_2\\x_3\\}\right]+ \left[\array{0\\0\\24\\}\right]r\]la ecuación de salida estará dada por la función de transferencia del denominador:
\[C(s) = \left(s^2+7\,s+2\right) X(s)\]volviéndola una ecuación diferencial tendremos:
\[c = \ddot{x}_1 + 7\, \dot{x}_1 + 2\, x_1\]recordando que:
\[\array{ x_1 &=& x_1 \\ \dot{x}_1 &=& x_2 \\ \ddot{x}_1 &=& x_3 \\ }\]tendremos:
\[c = x_3 + 7\, x_2 + 2\, x_1\]la ecuación de salida será:
\[y = \left[\array{2&7&1}\right]\left[\array{x_1\\x_2\\x_3\\}\right]\]Recordando los pasos
- Se reescribe la función de transferencia como ecuación diferencial.
- Seleccionamos la variables de estado que pueden ser variables de fase.
- En caso de numerado polinomial se separa la función de transferencia entre denominador y luego numerador.
- Se reescribe la ecuación diferencial del denominador como ecuación dinámica $A$ en espacio de estados.
- Se reescribe la ecuación diferencial del numerador como ecuación de salida $C$.
Ejercicio
Encontrar la representación en espacio de estados de la siguiente función de transferencia:
\[G(s)=\frac{2\,s+1}{s^2+7\,s+9}\]la solución para este ejercicio después de realizar todo el proceso será:
\[\array{\dot{x} &=& \left[\array{0&1\\-9&-7}\right]x+ \left[\array{0\\1\\}\right]r \\ y &=& \left[\array{1&2}\right]x}\]Referencia
- Sección 3.5 de Norman S. Nise (2014). Control Systems Engineering (7th Ed).