Espacio de Estados

Para adentrarnos en el mundo del espacio de estados empecemos utilizando un ejemplo de un circuito RL (ver imagen a continuación). El estado de este sistema se define por un conjunto de variables necesaria para predecir el comportamiento de este dada una entrada $u(t)$ en esta caso $u(t)= v(t)$.

Si conocemos la corriente $i(t)$ de este circuito tendremos conocimiento completo del sistema y podremos predecir su comportamiento. Usando dicha variable (conocida como variable de estado), podemos definir una ecuación diferencial que relaciones las variables de estado con la variable de entrada.

\[L\frac{d\,i(t)}{dt}+R\,i(t) = v(t) \label{rli}\]

Pensando en términos de la transformada de Laplace podemos ver que para la solución de la ecuación diferencial \eqref{rli} necesitaremos conocer la corriente inicial $i(0)$. Lo que la convierte en una variable de estado. La ecuación anterior también puede ser representada usando el voltaje en la resistencia $v_R(t) = R\,i(t)$:

\[\frac{L}{R}\frac{d\,v_R(t)}{dt}+v_R(t) = v(t)\]

En este caso, necesitaremos conocer el voltaje en la resistencia $v_R\,(0)$ que sería en este segundo caso la variable de estado. Podemos ver con estas dos ecuaciones que la representación de un sistema en el espacio de estados no es única y dependerá de como se representa el modelo.

Es importante resaltar que la representación en espacio de estado permite rescribir las ecuaciones de un sistema en términos de las variables de estado y la variable de entrada del sistema, sin la necesidad de usar otra variable.

Circuito RLC

Ahora estudiemos un circuito RLC el cual tiene la siguiente ecuación diferencial.

\[L\frac{d\,i(t)}{dt}+R\,i(t)+\frac{1}{C}\int_0^t i(\tau)d\tau = v(t) \label{rlc}\]

teniendo en cuenta la relación entre la carga y la corriente $i(t) = dq/dt$, tendremos:

\[L\frac{d^2}{dt^2}\,q(t)+R\frac{d}{dt}\,q(t)+\frac{1}{C}\,q(t) = v(t) \label{rlcq}\]

para la representación en espacio de estado debemos convertir las ecuaciones diferenciales de orden $n$ en $n$ ecuaciones diferenciales de primer orden. La ecuación \eqref{rlcq} puede ser convertida en:

\[\begin{align} \frac{dq}{dt} &= i \label{estado-carga}\\ \frac{di}{dt} &= -\frac{1}{LC}q - \frac{R}{L} i + \frac{1}{L}v(t) \label{estado-corriente} \end{align}\]

las ecuaciones anteriores son las ecuaciones de estado del sistema y se deben resolver simultaneamente para encontrar la solución del sistema.

Representación en espacio de estados

El modelo de un sistema puede ser representado en espacio de estados, lo que permite estudiar el sistema en el dominio del tiempo sin necesidad de llevarlo al dominio de Laplace. Dicha representación para sistema lineales se construye a partir de dos ecuaciones:

\[\begin{align} \dot{x}&=A\,x+B\,u \label{state_equation} \\ y&=C\,x+D\,u \label{output_equation} \end{align}\]

Donde \eqref{state_equation} es la ecuación de estado, la cual contiene la dinámica del sistema y como esta es afectada por los actuadores o entradas. Y \eqref{output_equation} la ecuación de salida, la cual indica las salidas del sistema, estas pueden ser variables de estado, las entradas o una combinación lineal de estas.

$x$: es el vector de estado
$\dot{x}$: es la derivada del vector de estado con respecto al tiempo
$y$: es el vector de salida
$u$: es el vector en entrada o de control
$A$: es la matriz dinámica
$B$: es la matriz de entrada
$C$: es la matriz de salida
$D$: es la matriz de realimentación directa

Continuando con el ejemplo del circuito RLC

De la ecuaciones \eqref{estado-carga} y \eqref{estado-corriente} tenemos dos variables de estado $q$ e $i$. Por lo que el vector de estados $x$ se puede escribir:

\[x=\left[\array{q\\i}\right]=\left[\array{x_1\\x_2}\right]\]

luego las ecuaciones \eqref{estado-carga} y \eqref{estado-corriente} quedarán usando las variables de estado y la entrada $u=v$:

\[\begin{align} \frac{dx_1}{dt} &= x_2 \label{estado-carga-x}\\ \frac{dx_2}{dt} &= -\frac{1}{LC}x_1 - \frac{R}{L} x_2 + \frac{1}{L}u(t) \label{estado-corriente-x} \end{align}\]

reescribiendo las ecuaciones anteriores de forma matricial \eqref{state_equation}, tendremos:

\[\dot{x}=\left[\array{\dot{x}_1\\\dot{x}_2}\right] = \left[\array{0&1\\-\frac{1}{LC}&-\frac{R}{L}}\right] x + \left[\array{0\\\frac{1}{L}}\right] u\]

la ecuación de salida, dependerá de las variables del sistema que queramos/podamos medir. Podemos tener diferentes ecuaciones de salida dependiendo de esto:

Si queremos saber el voltaje en la resistencia sabemos que $v_R = i\,R$, luego:

\[v_R = y = \left[\array{0 & R}\right]x\]

Si queremos saber el voltaje en el condensador sabemos que $v_C = q/C$, luego:

\[v_C = y = \left[\array{\frac{1}{C} & 0}\right]x\]

Si queremos saber el voltaje en el inductor sabemos que $v_L = -v_C-v_R+v$, luego:

\[v_L = y = \left[\array{-\frac{1}{C} & -R}\right]x+\left[\array{1}\right]u\]

como vimos la representación de la ecuación de salida, depende de lo que queremos como salida. Del mismo modo la ecuación de estados puede definirse con otras variables de estado.

Encontrar la ecuación de estado para las variables de estado $v_R$ y $v_C$.

\[\dot{x}=A\,x+B\,u \qquad \left[\array{\dot{v}_R\\\dot{v}_C}\right] = \left[\array{-\frac{R}{L}&-\frac{R}{L}\\\frac{1}{RC}&0}\right]\left[\array{v_R\\v_C}\right]+\left[\array{\frac{R}{L}\\0}\right]u\]

Conceptos clave

combinación lineal: se define combinación lineal a toda expresión de la forma (donde $A$ y $B$ son conjuntos cualesquiera)

\[\sum_{\substack{\alpha\,\in \,A \\ b\,\in \,B}}\alpha B\]

independencia lineal: se dice que un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito como combinación lineal de los restantes
variable del sistema: es cualquier valor del sistema que sea susceptible a cambiar en el tiempo.
variables de estado: son el conjunto mínimo de variables de sistema independiente que nos permiten predecir el comportamiento del sistema.
vector de estado: el vector que representa las variables de estado.
espacio de estado: es el espacio n-dimensional cuyos ejes son las variables de estado.
ecuación de estado: es el conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden que modelizan el sistema.
ecuación de salida: es una ecuación algebraica que expresa las variables de salida como combinación lineal de las variables de estado y las entradas.

Referencia

Secciones 3.1, 3.2 y 3.3 de Norman S. Nise (2014). Control Systems Engineering (7th Ed).