Conversión al dominio de Laplace

La conversión entre las dos formas de representación de un sistema se puede hacer de manera metódica. Aquí explicaremos como pasar

Conversión de SS a TF

1. Tomemos la representación en espacio de estados general y encontremos la función de transferencia.

   \[\begin{align} \dot{x}&=A\,x+B\,u \\ y&=C\,x+D\,u \end{align}\]

2. Aplicando transformada de Laplace:

   \[\begin{align} s\,X(s)&=A\,X(s)+B\,U(s) \\ Y(s)&=C\,X(s)+D\,U(s) \end{align}\]

3. Despejando de la primera ecuación $X(s)$

   \[\begin{align} (sI-A)X(s)&=B\,U(s) \\ X(s)&=(sI-A)^{-1}B\,U(s) \end{align}\]

4. Remplazando $X(s)$ en $Y(s)$,

   \[Y(s) = \left[C(sI-A)^{-1}B + D \right]\,U(s)\]

5. La función de transferencia relaciona la salida $Y(s)$ sobre la entrada $U(s)$ luego:

   \[\frac{Y(s)}{U(s)} = C(sI-A)^{-1}B + D\]

   Ejemplo 1

   \[\begin{align} \dot{x}&= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -24 & -26 & -9 \end{bmatrix} \,x+ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \,u \\ y&= \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 \end{bmatrix} \,x \end{align}\]

   Ejemplo 2

   \[\begin{align} \dot{x}&= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \,x+ \begin{bmatrix} 10\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \,u \\ y&= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \,x \end{align}\]

Ejercicio

Encontremos la función de transferencia del siguiente sistema en representación en espacio de estados:

\[\begin{align} \dot{x}&= \begin{bmatrix} -4 & -1.5 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \,x+ \begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix} \,u \\ y&= \begin{bmatrix} 1.5 & 0.625 \end{bmatrix} \,x \end{align}\]

Referencia

• Sección 3.6 de Norman S. Nise (2014). Control Systems Engineering (7th Ed).