Linealización en espacio de estados

Un sistema en espacio de estados lineal se puede describir por las siguientes ecuaciones matriciales:

\[\begin{align} \dot{x}&=A\,x+B\,u \label{state_equation} \\ y&=C\,x+D\,u \label{output_equation} \end{align}\]

en caso de que el sistema sea no-lineal tendremos las ecuaciones expresadas de la siguiente forma:

\[\begin{align} \dot{x}&=f(x,u) \label{state_function} \\ y&=h(x,u) \label{output_function} \end{align}\]

de manera no lineal se pueden simular los sistemas, pero no se puede estudiar para diseñar un controlador. Para el diseño de controladores deberemos linealizar las ecuaciones utilizando el jacobiano evaluado en un punto de linealización.

Siendo el punto de linealización $x_o$ y $u_o$, las matrices de la ecuación de estados quedarán:

\[\array{ \cases{ \dot{x}=f(x,u)\\ y=h(x,u)\\ \\ f\left(x_o,u_o\right)=0\\ h\left(x_o,u_o\right)=0} && \array{x = x_o + \delta x\\u= u_o+ \delta u\\ \to} && \cases{ \dot{\delta x}=A\delta x + B\delta u \\ y = C \delta x + D\delta u \\ \\ A = \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_o,u_o\right) \\ B = \frac{\partial f}{\partial u}\left(x_o,u_o\right) \\ C = \frac{\partial h}{\partial x}\left(x_o,u_o\right) \\ D = \frac{\partial h}{\partial u}\left(x_o,u_o\right) \\ } }\]

Donde:

\[\frac{\partial f}{\partial x} = \left[\array{ \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \\ }\right]_{(n\times n)}\] \[\frac{\partial f}{\partial u} = \left[\array{ \frac{\partial f_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial u_m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial u_m} \\ }\right]_{(n\times m)}\] \[\frac{\partial h}{\partial x} = \left[\array{ \frac{\partial h_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial h_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial h_p}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial h_p}{\partial x_n} \\ }\right]_{(p\times n)}\] \[\frac{\partial h}{\partial u} = \left[\array{ \frac{\partial h_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial h_1}{\partial u_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial h_p}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial h_p}{\partial u_n} \\ }\right]_{(p\times m)}\]

Ejemplo

Supongamos la ecuación diferencial de un tanque de sección constante y área $A$ con entrada de caudal $q(t)$ y salida atmosferica por un orificio de área $a$.

\[A\frac{dh(t)}{dt} = q(t) - a \sqrt{2\, g\, h(t)}\]

suponiendo que el estado del sistema es la altura del tanque ($h(t)=x_1(t)$) y el caudal de entrada es la entrada del sistema $q(t)=u(t)$ entonces podemos reescribir la ecuación como:

\[\dot{x}_1(t) = \frac{1}{A} u(t) - \frac{a\sqrt{2\, g}}{A}\sqrt{x_1(t)} = f(x,u)\label{eqh}\]

Para este sistema la ecuación de salida es muy sencilla, tendremos un sensor de la altura del tanque luego:

\[y(t)=h(t)=x_1(t) = C\,x\]

donde $C=\left[1\right]$.

Para obtener el modelo lineal de este sistema, deberemos usar los Jacobianos para esto necesitamos el punto local de linealización. Seleccionemos el estado estacionario $_{ss}$, en este la ecuación (\ref{eqh}) será:

\[0 = \frac{1}{A} u_{ss} - \frac{a\sqrt{2\, g}}{A}\sqrt{x_{1,ss}}\]

Despejando $u_ss$ tendremos

\[u_{ss} = a\sqrt{2\, g\, x_{1,ss}}\]

Ahora apliquemos el jacobiano a la ecuación (\ref{eqh}) para encontrar las matrices $A$ y $B$.

\[A = \frac{\partial f}{\partial x}(x_{ss},u_{ss}) = \left[\array{ \frac{\partial f}{\partial x_1} (x_{ss},u_{ss}) }\right] = \left[\array{ -\frac{a}{A} \sqrt{\frac{g}{2\,x_{1,ss}}} }\right]\] \[B = \frac{\partial f}{\partial b}(x_{ss},u_{ss}) = \left[\array{ \frac{\partial f}{\partial b} (x_{ss},u_{ss}) }\right] = \left[\array{ \frac{1}{A} }\right]\]

Con estos valores, podremos escribir la equación lineal del espacio de estados:

\[\begin{align} \dot{x}&= \begin{bmatrix}-\frac{a}{A} \sqrt{\frac{g}{2\,x_{1,ss}}}\end{bmatrix}\,x +\begin{bmatrix}\frac{1}{A}\end{bmatrix}\,u \\ y&= \begin{bmatrix}1\end{bmatrix}\,x \end{align}\]