Observabilidad
El diseño de controladores en espacio de estados se basa en el conocimientos de los estados del sistema, cuya información puede se adquirida a traves de hardware tal como sensores, en algunas ocasiones estos puede se privativos debido a su costo. En ese caso, podemos aproximar la información del estado a partir de medidas parciales del estado y un observador (imagen (b) a continuación), en otros casos se puede utilizar solamente la señal de entrada para estimar el estado del sistema (imagen (a)) pero en este caso estaríamos completamente en lazo abierto. La estimación con medidas parciales es por tanto lo más recomendados y es lo que se usa para estimar el estado completo del sistema $x$ a partir de las medidas de $y$ y de la salida del modelo del sistema $\hat{y}$. Así tendremos información para realizar el control del sistema (imagen (c)).
Partamos de la ecuación de estados para la planta
\[\begin{align} \dot{x}&=A\,x+B\,u \\ y&=C\,x \end{align}\]y para el observador:
\[\begin{align} \dot{\hat{x}}&=A\,x+B\,u+L(y-\hat{y}) \\ \hat{y}&=C\,x \end{align}\]substrayendo las ecuaciones anteriores:
\[\begin{align} \left(\dot{x}-\dot{\hat{x}}\right)&=A\,\left(x-\hat{x}\right)-L(y-\hat{y}) \\ \left(y-\hat{y}\right)&=C\,\left(x-\hat{x}\right) \end{align}\]sustituyendo la ecuación de salida en la ecuación de estado:
\[\begin{align} \left(\dot{x}-\dot{\hat{x}}\right)&=(A-LC)\,\left(x-\hat{x}\right) \\ \left(y-\hat{y}\right)&=C\,\left(x-\hat{x}\right) \end{align}\]definiendo $e_x = \left(x-\hat{x}\right)$ tendremos:
\[\begin{align} \dot{e_x}&=(A-LC)\,e_x \\ \left(y-\hat{y}\right)&=C\,e_x \end{align}\]las ecuaciones anteriores comportan un nuevo sistema en espacio de estados para el error de la estimación que con el tiempo disminuirá. Siempre y cuando la elección de la matriz de Luenberger logre un estimador estable.
El proceso de elección de la matriz de Luenberger puede seguir el procedimiento de posicionamiento de polos si el sistema es completamente observable. Esto se analiza con la matriz de observabilidad.
Tips
- Cuando diseñamos un observador, este debe tener una dinámica más rápida que el controlador, de lo contrario, dará información “falsa” (con retraso) al controlador generando inestabilidad en el sistema.
Matriz de observabilidad
Usando un ejemplo modesto tenemos que:
\[x_{k+1}= A\, x_k \qquad y_k = C x_k\]Podremos decir que un sistema es completamente observable si conociendo los valores de salida podemos recuperar el estado inicial del sistema.
\[\array{ y_0 &=& Cx_0 \\ y_1 &=& Cx_1 &=& CAx_0 \\ &\vdots\\ y_{n-1} &=& Cx_{n-1} &=& CA^{n-1}x_0 }\]el anterior sistema de ecuaciones puede ser rescrito como:
\[\left[\array{y_0\\y_1\\y_2\\\vdots\\y_{n-1}}\right] = \left[\array{C\\CA\\CA^2\\\vdots\\CA^{n-1}}\right]\,x_0 = \Omega x_0\]donde $\Omega$ es la matriz de observabilidad. La condición inicial del sistema puede ser recuperada de las medidas/salidas del sistema cuando la matriz de observabilidad tiene rango completo.
Referencia
- Sección 12.5 de Norman S. Nise (2014). Control Systems Engineering (7th Ed).